Задание 23 — №311968

Шаг 1.

Заметим, что в прямоугольном треугольнике $ABC$ с $\angle C=90^{\circ}$ гипотенуза равна $AB=15$, а радиус вписанной окружности равен $r=3$.

Для любого треугольника справедлива формула площади через вписанную окружность: $S=r\cdot p$, где $p$ – полупериметр. Кроме того, для прямоугольного треугольника верно соотношение $r=\frac{a+b-AB}{2}$, откуда получаем сумму катетов: $a+b=AB+2r=15+6=21$.

Тогда полупериметр равен $p=\frac{a+b+AB}{2}=\frac{21+15}{2}=18$.

Шаг 2. Применяем формулу площади треугольника через радиус вписанной окружности и полупериметр: $S=r\cdot p$. Подставляем найденные значения: $S=3\cdot18=54$.

Шаг 3. Рассмотрим альтернативное решение. Пусть вписанная окружность касается сторон треугольника в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Из свойства касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем равенства: $AC_1=AB_1=x$ и $BC_1=BA_1=y$, а отрезки, касающиеся стороны под прямым углом, равны $CA_1=CB_1=r=3$. Тогда стороны треугольника можно записать как: $AC=x+3$, $BC=y+3$, и $AB=x+y=15$.

Шаг 4. Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$: $ (x+3)^2+(18-x)^2=15^2 $. Здесь $BC=y+3$, а так как $x+y=15$, то $y=15-x$, откуда $BC=15-x+3=18-x$. Решив это уравнение, получаем $x=9$ или $x=6$. Тогда, если $x=9$, катет $AC=9+3=12$, а другой катет $BC=18-9=9$. Вычисляем площадь по формуле: $S=\frac{1}{2}\cdot12\cdot9=54$. Таким образом, окончательный ответ: $54$.