Задание 23 — №322806
Геометрические задачи на вычисление
Условие
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 17, AC = 51, NC = 32.
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 17, AC = 51, NC = 32.
Решение
- 1
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $BMN$. Прямая, проходящая через точки $M$ и $N$ и параллельная стороне $AC$, образует равные соответствующие углы: угол $BMN$ равен углу $BAC$, а угол $B$ является общим. По признаку равенства углов (признак подобия) выводим, что $\triangle ABC \sim \triangle BMN$.
- 2
Из подобия треугольников записываем равенство отношений соответствующих сторон: $\frac{BC}{BN} = \frac{AB}{BM} = \frac{AC}{MN}$. Зная, что $AC = 51$ и $MN = 17$, получаем: $\frac{AC}{MN} = \frac{51}{17} = 3$.
- 3
Так как точка $N$ лежит на стороне $BC$, то $BC = BN + NC$, где $NC = 32$. Подставляем это в равенство: $\frac{BN + 32}{BN} = 3$.
- 4
Решим уравнение: $$\frac{BN + 32}{BN} = 3 \Longrightarrow BN + 32 = 3BN$$. Вычитая $BN$ из обеих частей, получаем $32 = 2BN$, откуда $BN = \frac{32}{2} = 16$.
Ответ: 16