Задание 20 — №338951

Вводим подстановку: пусть $t = (x+2)^2$. Тогда исходное уравнение $ (x+2)^4 - 4(x+2)^2 - 5 = 0$ можно записать как $t^2 - 4t - 5 = 0$, при условии, что $t \geq 0$.

Замечаем, что $ (x+2)^4 = ((x+2)^2)^2$, откуда получаем уравнение $t^2 - 4t - 5 = 0$.

Решим квадратное уравнение $t^2 - 4t - 5 = 0$ с помощью формулы корней квадратного уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Здесь $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$.

Вычисляем дискриминант: $$b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$. Подставляем в формулу: $t = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}$, откуда получаем два значения: $t = 5$ и $t = -1$.

Учитывая, что по условию $t \geq 0$, отбрасываем отрицательное значение $t = -1$. Остается $t = 5$.

Возвращаемся к переменной $x$. При подстановке получаем $(x+2)^2 = 5$. Извлекаем квадратный корень: $x+2 = \sqrt{5}$ или $x+2 = -\sqrt{5}$, откуда находим $x = -2 + \sqrt{5}$ и $x = -2 - \sqrt{5}$.