Задание 20 — №338894

Шаг 1. Выразим переменную $y$ из уравнения $xy=6$. Так как $x \neq 0$, получаем $y=\frac{6}{x}$.

Шаг 2. Подставим выражение $y=\frac{6}{x}$ в уравнение $x^2+y^2=37$: получаем $x^2+\left(\frac{6}{x}\right)^2=37$, то есть $x^2+\frac{36}{x^2}=37$. Умножив обе части на $x^2$, получим $x^4-37x^2+36=0$.

Шаг 3. Проведём замену переменной: положим $t=x^2$. Тогда уравнение приобретает вид $t^2-37t+36=0$, что является квадратным уравнением.

Шаг 4. Решим квадратное уравнение $t^2-37t+36=0$ методом разложения на множители (теорема о разложении многочлена): запишем $t^2-37t+36=(t-1)(t-36)=0$, откуда получаем $t=1$ или $t=36$.

Шаг 5. Вернёмся к переменной $x$. Так как $t=x^2$, для $t=1$ имеем $x=\pm 1$, а для $t=36$ --- $x=\pm 6$. Подставляя найденные значения в формулу $y=\frac{6}{x}$, получаем: при $x=1$ $y=6$, при $x=-1$ $y=-6$, при $x=6$ $y=1$, при $x=-6$ $y=-1$.