Задание 20 — №338707
Уравнения, неравенства и их системы
Условие
Решите систему уравнений $\begin{cases} x^2 = 7y + 2 \\ x^2 + 2 = 7y + y^2 \end{cases}$
Решите систему уравнений x^2 = 7y + 2; x^2 + 2 = 7y + y^2
Решение
- 1
Шаг 1: Записываем систему уравнений: $$\begin{cases} x^2 = 7y + 2 \\ x^2 + 2 = 7y + y^2 \end{cases}$$
- 2
Шаг 2: Подставляем выражение $x^2 = 7y + 2$ из первого уравнения во второе. Получаем: $$ (7y + 2) + 2 = 7y + y^2 $$, то есть $$7y + 4 = 7y + y^2$$.
- 3
Шаг 3: Вычитаем из обеих частей уравнения $7y$ (свойство равенства: если $a = b$, то $a - c = b - c$, где $c = 7y$): $$7y + 4 - 7y = 7y + y^2 - 7y$$, откуда получаем $$4 = y^2$$.
- 4
Шаг 4: Решаем уравнение $y^2 = 4$. Находим два решения: $y = 2$ и $y = -2$.
- 5
Шаг 5: Подставляем полученные значения $y$ в первое уравнение $x^2 = 7y + 2$. Для $y = -2$: $$x^2 = 7 \cdot (-2) + 2 = -14 + 2 = -12,$$ что невозможно, так как $x^2 \geq 0$. Для $y = 2$: $$x^2 = 7 \cdot 2 + 2 = 14 + 2 = 16,$$ откуда $x = 4$ либо $x = -4$.
Ответ: (-4; 2); (4; 2)