Задание 20 — №311585

Складываем два уравнения системы: $x^2+3x+y^2=2$ и $x^2+3x-y^2=-6$. При сложении получаем: $$x^2+3x+y^2+x^2+3x-y^2=2x^2+6x$$ и $$2+(-6)=-4.$$ Таким образом, записали уравнение: $$2x^2+6x=-4.$$

Делим полученное уравнение на $2$: $$x^2+3x=-2.$$ Переносим $-2$ в левую часть: $$x^2+3x+2=0.$$ Применяя разложение на множители и используя теорему о нулевом произведении (если $$A\cdot B=0,$$ то $$A=0$$ или $$B=0$$), получаем: $$\left(x+1\right)\cdot\left(x+2\right)=0.$$ Отсюда $$x+1=0$$ или $$x+2=0,$$ то есть, $$x=-1$$ или $$x=-2.$$

Вычтем второе уравнение из первого: $$\left(x^2+3x+y^2\right)-\left(x^2+3x-y^2\right)=2-(-6).$$ Упрощая, получаем: $$2y^2=8.$$ Делим на $2$: $$y^2=4.$$ Извлекаем квадратный корень, получая: $$y=2$$ или $$y=-2.$$

Таким образом, решения системы уравнений: $$(-2;\ -2),\ (-2;\ 2),\ (-1;\ -2),\ (-1;\ 2).$$