Задание 20 — №333022

Запишем исходную систему: $$\begin{cases} (2x+3)^2 = 5y \\ (3x+2)^2 = 5y \end{cases}$$

Так как в обеих уравнениях правая часть равна $5y$, приравняем левые части: $$ (2x+3)^2 - (3x+2)^2 = 0.$$

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$, где $a = (2x+3)$ и $b = (3x+2)$. Получаем: $$ ((2x+3)+(3x+2))((2x+3)-(3x+2))=0.$$

Выполним сложение и вычитание: $$ (2x+3)+(3x+2)=5x+5 $$ и $$ (2x+3)-(3x+2)=-x+1.$$ Таким образом, наше уравнение принимает вид: $$ (5x+5)(-x+1)=0.$$

Приравняем каждый множитель к нулю (при использовании свойства нуля произведения):
1) Если $5x+5=0$, то $5x=-5$ и, деля на $5$, получаем $x=-1$.
2) Если $-x+1=0$, то $-x=-1$ и, умножая на $-1$, получаем $x=1$.
Подставим найденные значения $x$ в одно из исходных уравнений, например, $(3x+2)^2=5y$:
При $x=-1$: $3(-1)+2=-1$, тогда $(-1)^2=1$ и $5y=1$.
При $x=1$: $3(1)+2=5$, тогда $5^2=25$ и $5y=25$.