Задание 20 — №338528

Запишем систему уравнений: $$ (x-4)(y-6)=0, \quad \frac{y-4}{x+y-8}=2 $$. Из первого уравнения следует, что либо $x-4=0$, либо $y-6=0$.

Рассмотрим второе уравнение: $\frac{y-4}{x+y-8}=2$. Так как $x+y-8\neq0$, умножим обе части на $x+y-8$ (правило умножения на ненулевую величину): получим $y-4=2(x+y-8)$. После раскрытия скобок имеем $y-4=2x+2y-16$.

Перенесём все слагаемые в одну часть: $y-4-2x-2y+16=0$, что даёт $-2x-y+12=0$. Решим относительно $y$: прибавим $2x$ и вычтем $12$, получаем $-y=-2x+12$, откуда $y=-2x+12$.

Рассмотрим оба случая из первого уравнения. Если $x-4=0$, то $x=4$, и подставляя в $y=-2x+12$, получаем $y=-2\cdot4+12=4$. Однако при $x=4$, $y=4$ знаменатель второго уравнения равен $4+4-8=0$, что недопустимо. Если же $y-6=0$, то $y=6$. Подставим $y=6$ в $y=-2x+12$: $6=-2x+12$, откуда $x=3$. Таким образом, решение системы: $(3; 6)$.