Задание 20 — №338757

Обозначим $t = \frac{1}{x-2}$. Тогда заметим, что $\frac{1}{(x-2)^2} = t^2$. Подставляя это в исходное уравнение, получаем его эквивалент: $t^2 - t - 6 = 0$.

Решим квадратное уравнение $t^2 - t - 6 = 0$. Применяем метод разложения на множители (теорема о нулевом произведении). Ищем такие числа, что их произведение равняется $-6$, а сумма $-1$. Подбираем числа $3$ и $-2$: $3 \cdot (-2) = -6$ и $3 + (-2) = 1$, но чтобы сумма была $-1$, запишем уравнение как $(t-3)(t+2)=0$.

Из равенства $(t-3)(t+2)=0$ по свойству нулевого множителя следует, что $t-3=0$ или $t+2=0$. Отсюда получаем: $t=3$ или $t=-2$.

Вернёмся к исходной переменной $x$. При $t = 3$ имеем уравнение $\frac{1}{x-2}=3$. Умножая обе части на $x-2$, находим: $x-2=\frac{1}{3}$, откуда $x=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$. Аналогично, при $t = -2$ имеем $\frac{1}{x-2}=-2$, что даёт $x-2=-\frac{1}{2}$ и, следовательно, $x=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.