Задание 21 — №338584

Шаг 1. Пусть расстояние между городами $A$ и $B$ равно $1$. Мотоциклист со скоростью $v_1$ и велосипедист со скоростью $v_2$ выехали навстречу друг другу и встретились через $\frac{1}{4}$ часа. За это время они прошли расстояние: $\frac{1}{4}v_1+\frac{1}{4}v_2=1$. Умножая выражение на $4$, получаем уравнение: $v_1+v_2=4$.

Шаг 2. По условию мотоциклист приехал в пункт $B$ на $40$ минут, то есть на $\frac{2}{3}$ часа, раньше, чем велосипедист достиг пункта $A$. При равномерном движении время прохождения всего пути равно $\frac{1}{v_1}$ для мотоциклиста и $\frac{1}{v_2}$ для велосипедиста. Поэтому разность времен: $\frac{1}{v_2}-\frac{1}{v_1}=\frac{2}{3}$.

Шаг 3. Выразим $v_1$ из уравнения $v_1+v_2=4$: $v_1=4-v_2$. Подставляем это в уравнение $\frac{1}{v_2}-\frac{1}{v_1}=\frac{2}{3}$, получим: $\frac{1}{v_2}-\frac{1}{4-v_2}=\frac{2}{3}$. Приводим левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(4-v_2)-v_2}{v_2(4-v_2)}=\frac{4-2v_2}{v_2(4-v_2)}$$, откуда уравнение принимает вид: $\frac{4-2v_2}{v_2(4-v_2)}=\frac{2}{3}$.

Шаг 4. Домножим обе части уравнения на $v_2(4-v_2)$: получим $3(4-2v_2)=2v_2(4-v_2)$. Раскрывая скобки, имеем: $12-6v_2=8v_2-2v_2^2$. Переносим все слагаемые в одну часть: $2v_2^2-14v_2+12=0$, разделим на $2$: $v_2^2-7v_2+6=0$. Факторизуя, получаем: $(v_2-1)(v_2-6)=0$. Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем $v_2=1$, а тогда $v_1=4-1=3$.

Шаг 5. Время, затраченное велосипедистом на путь из $B$ в $A$, равно $\frac{1}{v_2}=\frac{1}{1}=1$ час.