Задание 20 — №338348
Уравнения, неравенства и их системы
Условие
Решите уравнение $\left(2x - 2\right)^2 \left(x - 2\right) = \left(2x - 2\right)\left(x - 2\right)^2.$
Решите уравнение (2x - 2)^2 (x - 2) = (2x - 2)(x - 2)^2.
Решение
- 1
Запишем исходное уравнение: $ (2x-2)^2 (x-2) = (2x-2) (x-2)^2 $. Перенесём всё в левую часть, получим $ (2x-2)^2 (x-2) - (2x-2)(x-2)^2 = 0 $.
- 2
Вынесем общий множитель $ (2x-2)(x-2) $ из обоих членов. Используем свойство распределения, которое гласит: $a \cdot b - a \cdot c = a(b-c)$, где $a=(2x-2)(x-2)$, $b=(2x-2)$ и $c=(x-2)$. Получаем: $ (2x-2)(x-2)[(2x-2)-(x-2)] = 0 $.
- 3
Упростим выражение в скобках: $ (2x-2)-(x-2)=2x-2-x+2=x $. Таким образом, уравнение принимает вид: $ (2x-2)(x-2)x = 0 $.
- 4
Применяем теорему о нулевом произведении (если произведение равно $0$, то хотя бы один множитель равен $0$). Решаем каждое уравнение: $2x-2=0 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1$, $x-2=0 \Rightarrow x=2$, и $x=0$.
Ответ: 0; 1; 2