Задание 24 — №333348

Так как четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, по свойству вписанных четырёхугольников сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Запишем это соотношение: $$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ.$$

Продолжение стороны $BC$ проходит через точку $K$, поэтому луч $BK$ является продолжением стороны $BC$, а значит угол $ABK$ в треугольнике $KAB$ равен углу $ABC$: $$\angle ABK = \angle ABC.$$ Аналогичным образом, продолжение стороны $AD$ через точку $K$ означает, что в треугольнике $KCD$ угол $CDK$ равен углу $KDC$: $$\angle CDK = \angle KDC.$$

Так как точка $K$ лежит на прямой, содержащей сторону $AD$, угол $KDC$ является внешним углом при вершине $D$. По свойству внешнего угла получаем: $$\angle KDC = 180^\circ - \angle ADC.$$ Подставляя из шага 1, где $180^\circ - \angle ADC = \angle ABC$, получаем: $$\angle KDC = \angle ABC.$$ Отсюда, используя равенство из шага 2 ($\angle ABK = \angle ABC$) и равенство $\angle CDK = \angle KDC$, следует, что $$\angle ABK = \angle CDK.$$

Кроме того, угол при вершине $K$ является общим для треугольников $KAB$ и $KCD$. Таким образом, в каждом из этих треугольников равны два угла: $$\angle ABK = \angle CDK$$ и общий угол $K$. По признаку равенства углов (признак AA) треугольники $KAB$ и $KCD$ подобны.