Задание 24 — №333322
Геометрические задачи на доказательство
Условие
Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырехугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырехугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
Решение
- 1
Так как четырехугольник $ABCD$ вписанный, по свойству вписанных углов сумма углов $\angle BAD$ и $\angle BCD$ равна $180^\circ$, то запишем: $$\angle BAD+\angle BCD=180^\circ.$$
- 2
Из равенства $$\angle BAD+\angle BCD=180^\circ$$ находим, что $$\angle BAD=180^\circ-\angle BCD.$$
- 3
Поскольку точка $M$ является точкой пересечения продолжений сторон $AB$ и $CD$, то луч $CM$ является продолжением стороны $CD$. Это означает, что угол $\angle MCB$ равен дополнению к углу $\angle BCD$, т.е. $$\angle MCB=180^\circ-\angle BCD.$$
- 4
Сравнивая полученные равенства, получаем: $$\angle MCB=180^\circ-\angle BCD=\angle BAD.$$ Заметим, что так как точки $A$, $B$ и $M$ коллинеарны, угол $\angle BAD$ в четырехугольнике равен углу $\angle MAD$ в треугольнике $MDA$, то есть $$\angle MAD=\angle BAD.$$
- 5
Таким образом, у треугольников $MBC$ и $MDA$ равны общий угол $\angle M$ и угол при вершинах $C$ и $A$ соответственно ($\angle MCB=\angle MAD$). По критерию подобия треугольников (по двум углам) делаем вывод, что треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны.
Ответ: треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны