Задание 24 — №333131

Проведем через точку $E$ прямые, параллельные сторонам параллелограмма $ABCD$. Эти прямые пересекают стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно, деля $ABCD$ на четыре меньших параллелограмма с площадями $S_{BLEK}$, $S_{LCME}$, $S_{ANEK}$ и $S_{NEMD}$.

Так как диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника (теорема о диагонали параллелограмма), каждый из полученных малых параллелограммов также делится на два равновеликих треугольника.

Следовательно, сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ равна сумме площадей соответствующих частей: $$S_{BEC}+S_{AED}=S_{BEL}+S_{LEC}+S_{AEN}+S_{EDN}=\frac{1}{2}(S_{BLEK}+S_{LCME}+S_{ANEK}+S_{NEMD}).$$ Поскольку сумма площадей четырех малых параллелограммов равна площади $ABCD$, получаем $$S_{BEC}+S_{AED}=\frac{1}{2}S_{ABCD}.$$

Приведем альтернативное решение по Юрию Лысакову. Проведем через точку $E$ прямую, перпендикулярную стороне $AD$ (и, соответственно, перпендикулярную стороне $BC$). Пусть эта прямая пересекает $AD$ в точке $F$ и $BC$ в точке $G$. Тогда отрезок $FG$ является высотой параллелограмма, и площадь $ABCD$ выражается формулой: $$S_{ABCD}=BC\cdot FG.$$

Выразим удвоенную сумму площадей треугольников $BEC$ и $AED$, пользуясь формулой площади треугольника $S=\frac{1}{2}\cdot основание \cdot высота$: $$2(S_{BEC}+S_{AED})=2\cdot\Big(\frac{1}{2}BC\cdot GE+\frac{1}{2}AD\cdot FE\Big)=BC\cdot (GE+FE).$$ Так как $GE+FE=FG$, получаем $$2(S_{BEC}+S_{AED})=BC\cdot FG=S_{ABCD},$$ откуда $$S_{BEC}+S_{AED}=\frac{1}{2}S_{ABCD}.$$