Задание 24 — №333026

Проведем через точку $E$, являющуюся серединой стороны $AB$, прямую, параллельную основаниям $AD$ и $BC$. Эта прямая пересекает сторону $CD$ в точке $F$, поэтому отрезок $EF$ является средней линией трапеции $ABCD$. По свойству средней линии получаем: $EF = \frac{AD+BC}{2}$.

Так как $EF \parallel AD$ и $EF \parallel BC$, высоты, опущенные на прямую $EF$, в треугольниках $EFD$ и $EFC$ равны между собой и составляют $\frac{h}{2}$, где $h$ – высота трапеции.

Воспользуемся формулой площади треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$$ (формула площади треугольника). Тогда:
$S_{EFD} = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot \frac{h}{2}$ и $S_{EFC} = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot \frac{h}{2}$.
Суммируя, получаем: $$S_{ECD} = S_{EFD} + S_{EFC} = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot h$$.

Подставим выражение для $EF$: $EF = \frac{AD+BC}{2}$. Тогда получим:
$$S_{ECD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AD+BC}{2} \cdot h$$.
Площадь трапеции равна: $S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD+BC) \cdot h$.
Отсюда: $S_{ECD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.
Таким образом, доказано, что площадь треугольника $ECD$ равна половине площади трапеции $ABCD$.