Задание 24 — №314822

Построим высоту $MN$, опущенную на сторону $AD$, так, чтобы она проходила через точку $K$ (точку пересечения диагоналей). Результат: через $K$ проведена высота $MN$.

Заметим, что вертикальные углы $\angle BKM$ и $\angle NKD$ равны, поскольку они образуются при пересечении прямых. Результат: $\angle BKM=\angle NKD$.

Так как в параллелограмме $ABCD$ диагонали делятся пополам, по свойству параллелограмма получаем, что $BK=KD$. Результат: $BK=KD$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $BMK$ и $KDN$. По признаку равенства прямоугольных треугольников (если равны один острый угол и равны гипотенузы) подставляем: $\angle BKM=\angle NKD$ и $BK=KD$, откуда получаем $MK=KN$. Результат: $MK=KN$.

Так как $MN=MK+KN$ и $MK=KN=\frac{1}{2}MN$, выразим площади: площадь параллелограмма $ABCD$ равна $S_{ABCD}=AD\cdot MN$, а площадь треугольника $AKD$ равна $$S_{AKD}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot KN=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot \frac{1}{2}MN=\frac{1}{4}AD\cdot MN=\frac{S_{ABCD}}{4}$$. Результат: $S_{ABCD}=4\cdot S_{AKD}$.