Задание 24 — №311925
Геометрические задачи на доказательство
Условие
В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD и CD соответственно, при этом $BH = BE$. Докажите, что ABCD — ромб.
В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD и CD соответственно, при этом BH = BE. Докажите, что ABCD — ромб.
Решение
- 1
Запишем формулу для площади параллелограмма. По правилу площади, $S = a \cdot h$, где $a$ – сторона, а $h$ – высота, проведённая к ней.
- 2
В параллелограмме $ABCD$ высота $BH$ проведена к стороне $AD$, а высота $BE$ – к стороне $CD$. Значит, можно записать два выражения для площади: $S = AD \cdot BH$ и $S = CD \cdot BE$.
- 3
Из условия задачи следует, что $BH = BE$. Подставляем это равенство в полученные формулы: $AD \cdot BH = CD \cdot BH$. Так как $BH \neq 0$, делим обе части равенства на $BH$ и получаем $AD = CD$.
- 4
В параллелограмме противоположные стороны равны, а если две смежные стороны равны, то все стороны равны. Следовательно, $AD = CD$ означает, что все стороны равны и, по определению, $ABCD$ является ромбом.
Ответ: ABCD — ромб