Задание 24 — №311667
Геометрические задачи на доказательство
Условие
Три стороны параллелограмма равны. Докажите, что отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен $\frac{1}{4} P$, где $P$ - периметр параллелограмма.
Три стороны параллелограмма равны. Докажите, что отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен (1)/(4) P, где P - периметр параллелограмма.
Решение
- 1
По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны: $AB = CD$ и $AD = BC$. Если три стороны равны, например, $AB = BC = CD$, то, подставляя $AD = BC$, получаем $AD = AB$. Таким образом, все четыре стороны равны: $AB = BC = CD = AD$, и параллелограмм является ромбом.
- 2
Обозначим точки $K$ и $L$ как середины двух противоположных сторон ромба (например, $K$ --- середина стороны $AB$, а $L$ --- середина стороны $CD$). По определению середины, выполнены равенства: $AK = KB$ и $CL = LD$.
- 3
Построим четырехугольник $ADKL$, где $A$ и $D$ --- вершины ромба, а $K$ и $L$ --- выбранные середины. По теореме о средней линии в треугольнике (которая утверждает, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине), отрезки $AL$ и $DK$ оказываются равными и параллельными. Это доказывает, что четырехугольник $ADKL$ является параллелограммом, а, согласно его свойству, противоположные стороны равны, то есть $KL = AD$.
- 4
Так как ромб имеет все стороны равными, то каждая сторона равна $AD = \frac{P}{4}$, где $P = 4 \cdot AD$ --- периметр ромба. Подставляя, получаем: $KL = AD = \frac{P}{4}$, что и требовалось доказать.
Ответ: $$\frac{1}{4} P$$