Задание 24 — №311608

1. Обозначим: пусть точки $K$, $L$, $M$, $N$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ параллелограмма $ABCD$. Так как $L$ является серединой отрезка $BC$, получаем, что $BL = LC$.

2. Заметим, что в параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, то есть $AB = CD$. Поскольку точки $K$ и $M$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$, то $KB = \frac{1}{2}AB$ и $MC = \frac{1}{2}CD$. Таким образом, $KB = MC$.

3. По условию, вершины ромба образованы точками $K$, $L$, $M$, $N$, значит, все стороны ромба равны. В частности, $KL = LM$.

4. Рассмотрим треугольники $KBL$ и $LCM$. Из предыдущих шагов имеем: $BL = LC$, $KB = MC$ и $KL = LM$. Применяя теорему о равенстве треугольников по трем сторонам (SSS), получаем, что $\triangle KBL \cong \triangle LCM$.

5. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны, то есть $\angle KBL = \angle MCL$. Так как точки $B$, $L$, $C$ расположены на одной прямой, то сумма углов $\angle KBL$ и $\angle MCL$ равна $180^{\circ}$. Отсюда каждый из этих углов равен $90^{\circ}$.

6. Если один угол параллелограмма $ABCD$ равен $90^{\circ}$, то все углы прямые. Следовательно, параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником.