Задание 24 — №311607

Так как точка $M$ равноудалена от точек $B$ и $C$, то в треугольнике $BMC$ получаем $BM=CM$. По определению равнобедренного треугольника (если $BM=CM$, то по теореме о равенстве углов при основании имеем $\angle CBM=\angle BCM$) заключаем, что треугольник $BMC$ равнобедренный.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ по свойству равенства основанных углов получаем $\angle ABC=\angle DCB$.

Выразим углы при точке $M$: в треугольнике $ABM$ угол $\angle ABM$ равен $\angle ABC-\angle CBM$, а в треугольнике $DCM$ угол $\angle DCM$ равен $\angle DCB-\angle BCM$. Подставляя равенство $\angle ABC=\angle DCB$ (шаг 2) и $\angle CBM=\angle BCM$ (шаг 1), получаем $\angle ABM=\angle DCM$.

Так как в равнобедренной трапеции $ABCD$ равны боковые стороны, то $AB=CD$, а по условию и шагу 1 $BM=CM$. Таким образом, в треугольниках $ABM$ и $DCM$ имеются две равные стороны ($AB=CD$, $BM=CM$) и равный угол между ними ($\angle ABM=\angle DCM$). По признаку равенства треугольников (SAS) получаем, что треугольники $ABM$ и $DCM$ равны, откуда следует $AM=MD$.

Поскольку $AM=MD$, точка $M$ делит отрезок $AD$ на две равные части, то есть $M$ является серединой основания $AD$.