Задание 25 — №333132

Так как окружности с центрами $O$ и $O_1$ касаются внешним образом, расстояние между ними равно сумме их радиусов: $OO_1 = 14 + 35 = 49$.

Опустим перпендикуляр из центра меньшей окружности $O$ на луч, содержащий радиус большой окружности $O_1C$. Обозначим основание перпендикуляра как $P$. Тогда $O_1P = O_1C - PC$. При этом $O_1C = 35$ (радиус большой окружности) и $PC = OA = 14$ (радиус меньшей окружности), откуда $O_1P = 35 - 14 = 21$.

В прямоугольном треугольнике $OPO_1$ применяем теорему Пифагора: $$OP = \sqrt{OO_1^2 - O_1P^2}.$$ Подставляем значения: $$OP = \sqrt{49^2 - 21^2} = \sqrt{2401 - 441} = \sqrt{1960} = 14\sqrt{10}.$$

Опустим перпендикуляр $BQ$ из точки $B$ на прямую $CD$. Пусть $K$ --- точка пересечения касательных $AC$ и $BD$. По свойству касательных, проведённых из одной точки, углы $\angle OKB$ и $\angle OKA$ равны.

Заметим, что $\angle DBQ = \angle OKB$, а также $\angle POO_1 = \angle OKA$.

Отсюда получаем равенство углов: $\angle DBQ = \angle POO_1$, что доказывает подобие прямоугольных треугольников $BQD$ и $OPO_1$ (по признаку равенства двух углов — AA).

Из подобия треугольников выписываем пропорцию: $$\frac{BQ}{BD} = \frac{OP}{OO_1}.$$ По условию $BD = 14\sqrt{10}$, из шага 3 $OP = 14\sqrt{10}$, а из шага 1 $OO_1 = 49$. Подставляем и получаем: $$BQ = \frac{14\sqrt{10} \cdot 14\sqrt{10}}{49} = \frac{1960}{49} = 40.$$

Таким образом, расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно $40$.