Задание 25 — №311562

Шаг 1: Введем обозначения: пусть $O_1$ --- центр первой окружности с радиусом $4$, $O_2$ --- центр второй окружности, точка касания окружностей --- $B$, а точки касания общей касательной (не проходящей через $B$) с окружностями обозначим как $M$ (для первой) и $N$ (для второй). Результат: обозначения заданы, причем $O_1B=4$.

Шаг 2: По свойству касательной (теорема: \textit{радиус перпендикулярен касательной}) отрезок, проведенный из центра к точке касания, образует прямой угол с касательной.

Тогда треугольники $AO_1M$ и $AO_1B$ являются прямоугольными, имеют общий отрезок $O_1A$ и равную гипотенузу $AO_1$. По критерию равенства прямоугольных треугольников (гипотенуза и один катет равны) получаем $AO_1M\cong AO_1B$.

Аналогично, $AO_2N\cong AO_2B$. Результат: установлено равенство соответствующих треугольников.

Шаг 3: Из равенства треугольников следует, что прямые $O_1A$ и $O_2A$ делят углы у точек касания пополам, то есть являются биссектрисами углов $MO_1B$ и $NO_2B$ соответственно: $\angle AO_1B=\frac{1}{2}\angle MO_1B$ и $\angle AO_2B=\frac{1}{2}\angle NO_2B$. Результат: построены биссектрисы нужных углов.

Шаг 4: Поскольку отрезки $MO_1$ и $NO_2$ являются радиусами, проведенными в точки касания с одной и той же касательной, они перпендикулярны этой касательной и, следовательно, параллельны. Тогда, по свойству параллельных прямых, сумма углов составляет: $$\angle MO_1B+\angle NO_2B=180^\circ.$$ Делим сумму на 2, получая: $$\angle AO_1B+\angle AO_2B=90^\circ.$$ Это означает, что треугольник $O_1O_2A$ является прямоугольным. Результат: $\triangle O_1O_2A$ --- прямоугольный.

Шаг 5: В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит его на подобные треугольники. Из подобия треугольников $AO_1B$ и $AO_2B$ следует соотношение по теореме о высоте: $$O_2B=\frac{AB^2}{O_1B}.$$ Подставляем $AB=6$ и $O_1B=4$: $$O_2B=\frac{6^2}{4}=\frac{36}{4}=9.$$ Результат: радиус второй окружности равен $9$.