Задание 25 — №316245
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
Три окружности с центрами $O_1$, $O_2$ и $O_3$ и радиусами 2,5, 0,5 и 4,5 соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол $O_1$ $O_2$ $O_3$.
Три окружности с центрами O_1, O_2 и O_3 и радиусами 2,5, 0,5 и 4,5 соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол O_1 O_2 O_3.
Решение
- 1
Шаг 1: Найдём расстояния между центрами окружностей. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между центрами равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = 2,5 + 0,5 = 3$, $O_2O_3 = 0,5 + 4,5 = 5$, $O_1O_3 = 2,5 + 4,5 = 7$.
- 2
Шаг 2: Запишем теорему косинусов для треугольника $O_1O_2O_3$ с углом $\angle O_1O_2O_3$ при вершине $O_2$. По теореме косинусов (для треугольника): $$O_1O_3^2 = O_1O_2^2 + O_2O_3^2 - 2\cdot O_1O_2 \cdot O_2O_3 \cdot \cos(\angle O_1O_2O_3).$$
- 3
Шаг 3: Подставим известные значения: $$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2\cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\angle O_1O_2O_3).$$ Вычисляем квадраты: $7^2 = 49$, $3^2 = 9$, $5^2 = 25$. Получаем уравнение: $$49 = 9 + 25 - 30\cdot \cos(\angle O_1O_2O_3).$$
- 4
Шаг 4: Решим полученное уравнение. Складываем $9 + 25 = 34$, тогда: $$49 = 34 - 30\cdot \cos(\angle O_1O_2O_3).$$ Переносим член с $\cos(\angle O_1O_2O_3)$: $$30\cdot \cos(\angle O_1O_2O_3) = 34 - 49 = -15,$$ откуда находим $$\cos(\angle O_1O_2O_3) = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}$$.
- 5
Шаг 5: Известно, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$. Следовательно, $\angle O_1O_2O_3 = 120^\circ$. Таким образом, искомый угол равен $120^\circ$.
Ответ: 120°