Задание 25 — №316335
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
Две окружности с центрами $O_1$ и $O_3$ и радиусами 4.5 и 2.5 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром $O_2$ радиусом 7.5. Найдите угол $O_1$ $O_2$ $O_3$.
Две окружности с центрами O_1 и O_3 и радиусами 4.5 и 2.5 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром O_2 радиусом 7.5. Найдите угол O_1 O_2 O_3.
Решение
- 1
Определим расстояния между центрами окружностей. Так как окружность с центром $O_2$ касается внутренней окружности с центром $O_1$ (радиус $4.5$) внутренним касанием, расстояние между их центрами равно разности радиусов: $O_1O_2=7.5-4.5=3$.
Аналогично, для окружности с центром $O_3$ (радиус $2.5$) имеем: $O_2O_3=7.5-2.5=5$.
При внешнем касании окружностей с центрами $O_1$ и $O_3$, расстояние между ними равно сумме радиусов: $O_1O_3=4.5+2.5=7$. - 2
Таким образом, стороны треугольника $O_1O_2O_3$ равны: $O_1O_2=3$, $O_2O_3=5$, $O_1O_3=7$.
- 3
Применим теорему косинусов, которая гласит: $$O_1O_3^2=O_1O_2^2+O_2O_3^2-2\cdot O_1O_2\cdot O_2O_3\cdot \cos(\angle O_1O_2O_3)$$ Подставляем значения: $$7^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot \cos(\angle O_1O_2O_3)$$, что означает: $$49=9+25-30\cdot \cos(\angle O_1O_2O_3).$$
- 4
Упростим уравнение: $$49=34-30\cdot \cos(\angle O_1O_2O_3)$$. Выразим $\cos(\angle O_1O_2O_3)$: вычтем $34$ из обеих частей, получим $$30\cdot \cos(\angle O_1O_2O_3)=34-49=-15$$, а затем разделим на $30$: $$\cos(\angle O_1O_2O_3)=-\frac{15}{30}=-\frac{1}{2}.$$
- 5
Так как $\cos(\angle O_1O_2O_3)=-\frac{1}{2}$, то по свойству косинуса угол $\angle O_1O_2O_3$ равен $120^\circ$.
Ответ: 120°