Задание 25 — №333027

Шаг 1: Обозначим центры окружностей. Пусть $O$ – центр меньшей окружности с радиусом $16$, а $Q$ – центр большей окружности с радиусом $48$. Так как окружности касаются внешним образом в точке $K$, получаем, что $OK=16$ и $QK=48$.

Шаг 2: Рассмотрим точки касания касательной, проходящей через точку $K$, с окружностями. Известно, что из внешней точки проведённые касательные равны, что приводит к тому, что отрезки, образованные касательными, равны. В результате в треугольнике $OBQ$ образуется прямой угол, то есть $\angle OBQ=90^\circ$. Применяя теорему о среднем геометрическом в прямоугольном треугольнике (высота, опущенная на гипотенузу, равна корню произведения длин двух отрезков, на которые она делит гипотенузу), получаем:

$$BK=\sqrt{OK\cdot QK}=\sqrt{16\cdot48}=16\sqrt{3}.$$

Шаг 3: Пусть $AN=x$, где $N$ – точка касания меньшей окружности с касательной. Так как прямоугольные треугольники $ANO$ и $AMQ$ подобны, а коэффициент подобия равен $\frac{48}{16}=3$, имеем подстановку: $$AM=3x.$$ Поэтому, отрезок между точками касания на касательной равен: $$MN=AM-AN=3x-x=2x.$$

Шаг 4: По свойству касательных, проведённых из одной точки, отрезки касательных равны.

Тогда $MC$, $CK$ и другой отрезок касательной равны, и, в частности, $CK=BK=16\sqrt{3}$.

Заметим, что отрезок $MN$ состоит из двух равных частей, то есть $MN=2CK$. Подставляем: $$2x=2\cdot16\sqrt{3}=32\sqrt{3},$$ откуда находим $x=16\sqrt{3}$.

Тогда длина отрезка $AB$, являющегося суммой двух равных частей, равна: $$AB=2x=32\sqrt{3}.$$

Шаг 5: В прямоугольном треугольнике $ABK$ известны гипотенуза $AB=32\sqrt{3}$ и один из катетов $BK=16\sqrt{3}$. По теореме Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, находим второй катет:

$$AK=\sqrt{(AB)^2-(BK)^2}=\sqrt{(32\sqrt{3})^2-(16\sqrt{3})^2}=\sqrt{3072-768}=\sqrt{2304}=48.$$

Шаг 6: Для нахождения радиуса описанной окружности треугольника $ABC$ воспользуемся формулой, согласно которой в прямоугольном треугольнике описанная окружность имеет радиус, равный половине гипотенузы, либо используем соотношение: $$r=\frac{(AB)^2}{2\cdot AK}.$$ Подставляем найденные значения: $$r=\frac{(32\sqrt{3})^2}{2\cdot48}=\frac{3072}{96}=32.$$ Дополнительно заметим, что в треугольнике $ABK$ отношение сторон $AB=32\sqrt{3}$ и $BK=16\sqrt{3}$ приводит к углу $\angle BAK=30^\circ$, а значит, угол $\angle BAC=60^\circ$, то есть треугольник $ABC$ оказывается равносторонним, что подтверждает правильность найденного результата.