Задание 25 — №311670

Поскольку точка $M$ лежит вне окружности, а хорда $AB$ пересекает прямую, проходящую через $M$, числа $AM$ и $BM$ задают расстояния от $M$ до точек пересечения этой прямой с окружностью. При расположении точек по порядку $M$, $B$, $A$ получаем, что длина хорды $AB$ равна разности расстояний: $AB=AM-BM=36-6=30$. Середина хорды обозначается точкой $K$, и, следовательно, $AK=KB=\frac{30}{2}=15$.

На прямой $AB$ точки $M$, $B$ и $K$ расположены в таком порядке, поэтому расстояние от $M$ до середины хорды $K$ равно $KM=MB+BK=6+15=21$.

Обозначим через $L$ середину хорды $CD$. По условию, $CD=4\sqrt{46}$, откуда $LD=\frac{4\sqrt{46}}{2}=2\sqrt{46}$. Так как $O$ --- центр окружности, проведенные через точки $K$ и $L$ перпендикулярны хордам $AB$ и $CD$ соответственно. Поскольку прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны, стороны, проведенные из $O$ к $AB$ и $CD$, а также отрезки $KM$ и $OL$, образуют прямоугольник $OKML$. Это дает равенство $OL=KM=21$.

Вспомним, что расстояние от центра окружности до любой хорды определяется через перпендикуляр, опущенный на неё. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ODL$ с прямым углом при $L$, где $OD=r$ --- радиус окружности, $OL=21$, а $DL=2\sqrt{46}$. Применяем теорему Пифагора: $$r^2=OL^2+DL^2=21^2+(2\sqrt{46})^2=441+4\cdot46=441+184=625,$$ откуда $r=\sqrt{625}=25$.

Рассмотрим треугольник $OKB$, в котором $OK\bot AB$. Здесь $KB=\frac{AB}{2}=15$, а гипотенуза равна $r=25$. Применяем теорему Пифагора: $$OK^2=r^2-KB^2=25^2-15^2=625-225=400,$$ откуда $OK=\sqrt{400}=20$.

В прямоугольном треугольнике $OKM$ (так как $OKML$ --- прямоугольник, угол $OKM$ прямой) применяем теорему Пифагора: $$OM^2=OK^2+KM^2=20^2+21^2=400+441=841,$$ откуда $OM=\sqrt{841}=29$.