Задание 25 — №311708

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором угол $B$ равен $90^{\text{o}}$. Проведём биссектрису угла $A$ и серединный перпендикуляр к стороне $BC$. Обозначим середину $BC$ через $N$. Так как биссектриса острого угла $A$ не может быть перпендикулярна $BC$, то она и серединный перпендикуляр пересекаются в единственной точке, обозначим её как $K$.

Построим описанную вокруг $\triangle ABC$ окружность. Серединный перпендикуляр к стороне $BC$ пересекает эту окружность второй точкой, которую обозначим за $L$. По свойству окружности точка $L$ является серединой меньшей дуги $BC$, то есть дуги $BL$ и $LC$ равны: $\text{arc } BL = \text{arc } LC$.

Применим теорему об одинаковых вписанных углах: вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Таким образом, $\angle BAL = \angle CAL$. Это означает, что прямая $AL$ является биссектрисой угла $BAC$, откуда следует, что точка $L$ совпадает с точкой $K$.

Так как точка $L$ является серединой дуги $BC$, вписанные углы, опирающиеся на дуги $BL$ и $LC$, равны. Обозначим их через $x$: $\angle BCL = \angle CBL = x$.

Рассмотрим вписанный четырёхугольник $ACLB$. По свойству вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^{\text{o}}$, то есть: $$\angle ABL + \angle ACL = 180^{\text{o}}.$$
Угол $\angle ABL$ равен сумме угла $\angle ABC$ и угла $\angle CBL$, то есть $90^{\text{o}}+x$, а угол $\angle ACL$ равен сумме угла $\angle ACB$ (из условия $40^{\text{o}}$) и угла $\angle BCL$, то есть $40^{\text{o}}+x$. Подставляем значения:
$$ (90^{\text{o}}+x)+(40^{\text{o}}+x)=180^{\text{o}}.$$
Получаем: $$130^{\text{o}}+2x=180^{\text{o}},$$
откуда $$2x=50^{\text{o}}$$ и, следовательно, $$x=25^{\text{o}}.$$

Так как точки $K$ и $L$ совпадают, искомый угол $\angle BCK$ равен углу $\angle BCL$, то есть $25^{\text{o}}$.