Задание 25 — №311568

Найдем стороны треугольника, вершинами которого являются центры окружностей. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между центрами равно сумме их радиусов: $AB = 2+3=5$, $AC = 2+10=12$, $BC = 3+10=13$.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Подставляем: $5^2+12^2=25+144=169$, а $13^2=169$. Так как $25+144=169$, треугольник прямоугольный.

Найдем площадь прямоугольного треугольника по формуле площади: по формуле $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$ (формула площади прямоугольного треугольника), где $a=5$ и $b=12$. Подставляем и получаем: $S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30$.

Вычислим полупериметр треугольника по формуле $p=\frac{a+b+c}{2}$. Подставляем стороны: $p=\frac{5+12+13}{2}=\frac{30}{2}=15$.

Найдем радиус вписанной окружности по формуле $S=p\cdot r$. Подставляем известные значения: $30=15\cdot r$, откуда находим $r=\frac{30}{15}=2$.