Задание 25 — №439916

Шаг 1. Пусть $O$ — центр данной окружности с радиусом $8$, а $Q$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Из условия известно, что точка касания $M$ с основанием $AC$ делит его пополам, значит, $AM = MC = \frac{12}{2} = 6$.

Шаг 2. Центр вписанной окружности $Q$ лежит на биссектрисе угла при вершине $A$, то есть $AQ$ — биссектриса. Аналогично, так как окружность с центром $O$ касается продолжений боковых сторон, линия $AO$ является биссектрисой смежного угла при $A$. Из свойства биссектрис смежных углов получаем, что $\angle OAQ = 90^\circ$.

Шаг 3. В прямоугольном треугольнике, где $\angle OAQ = 90^\circ$, опущенная из вершины $A$ высота делит гипотенузу на отрезки. По теореме о высоте в прямоугольном треугольнике (высота есть среднее геометрическое от отрезков гипотенузы) имеем равенство: $AM^2 = MQ \cdot MO$. Здесь $AM = 6$, а $MO = 8$ (так как расстояние от центра окружности до основания равно её радиусу).

Шаг 4. Подставляем известные значения: $6^2 = MQ \cdot 8$, то есть $36 = MQ \cdot 8$. Выражаем $MQ$: $MQ = \frac{36}{8} = 4.5$. Таким образом, радиус вписанной окружности равен $4.5$.