Задание 16 — №324868
Окружность, круг и их элементы
Условие
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.
Решение
- 1
Обозначим длины дуг окружности как $3x$, $4x$ и $11x$. Сумма всех дуг равна $360$ градусов:
$$3x + 4x + 11x = 360$$
- 2
Сложим коэффициенты:
$$18x = 360$$
Теперь найдем $x$: $$x = \frac{360}{18} = 20$$
- 3
Теперь найдем градусную меру меньшей дуги:
$$3x = 3 \cdot 20 = 60$$
- 4
Угол треугольника, опирающийся на эту дугу, равен половине дуги:
$$\frac{60}{2} = 30$$
Теперь найдем радиус описанной окружности по формуле $R = \frac{a}{2 \sin A}$, где $a = 14$ и $A = 30$ градусов:
$$R = \frac{14}{2 \sin 30} = \frac{14}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 14$$
Ответ: 14