Задание 23 — №76
Геометрические задачи на вычисление
Условие
Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 100°.
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 100°.
Решение
- 1
Проведем радиус $OA$, так как $CA$ является касательной к окружности. По теореме о касательной (радиус, проведенный в точке касания, перпендикулярен касательной) получаем, что $\angle OAC = 90^\circ$.
- 2
Рассмотрим треугольник $AOC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, то есть $\angle OAC + \angle COA + \angle ACO = 180^\circ$. Подставляя $\angle OAC = 90^\circ$, получаем, что $\angle COA + \angle ACO = 90^\circ$.
- 3
Так как дуга $AD$ имеет меру $100^\circ$, по теореме о центральном угле (центральный угол равен дуге, которую он опирается) находим, что $\angle AOD = 100^\circ$. Угол $COA$ смежен с углом $AOD$, а сумма смежных углов равна $180^\circ$, значит $\angle COA = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
- 4
Найдём искомый угол $\angle ACO$ в треугольнике $AOC$. Из равенства $\angle COA + \angle ACO = 90^\circ$ получаем $\angle ACO = 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ$.
Ответ: 10