Задание 23 — №154
Геометрические задачи на вычисление
Условие
В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
Решение
- 1
В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^\circ$ (теорема о сумме углов треугольника). Подставляем значения углов: $\angle A=20^\circ$ и $\angle C=60^\circ$, получаем: $$\angle ABC=180^\circ-20^\circ-60^\circ=100^\circ.$$
- 2
Так как $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$ (свойство биссектрисы), он делит угол пополам. Подставляем: $$\angle DBC=\frac{1}{2}\cdot100^\circ=50^\circ.$$
- 3
Рассмотрим треугольник $HBC$. Поскольку $BH$ является высотой, то угол между ней и основанием равен $90^\circ$ (по определению высоты). Из условия, $\angle C=60^\circ$, и в прямоугольном треугольнике находим: $$\angle HBC=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$
- 4
Найдем угол между высотой $BH$ и биссектрисой $BD$, обозначим его как $\angle DBH$. Он равен разности углов: $$\angle DBH=\angle DBC-\angle HBC=50^\circ-30^\circ=20^\circ.$$
Ответ: $$\angle DBH=20^\circ$$