Задание 23 — №311649
Геометрические задачи на вычисление
Условие
На сторонах угла BAC и на его биссектрисе отложены равные отрезки $AB = AC = AD$. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла BAC.
На сторонах угла BAC и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB = AC = AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла BAC.
Решение
- 1
Так как $AD$ является биссектрисой угла $BAC$, полагаем $\angle BAD = \angle DAC = x$. Тогда из определения биссектрисы получаем, что $\angle BAC = 2x$.
- 2
В треугольнике $ABD$, поскольку $AB = AD$, треугольник является равнобедренным. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны, то есть $\angle ABD = \angle ADB$. Обозначим их через $y$. Тогда по теореме о сумме углов в треугольнике: $x + 2y = 180^\circ$, откуда $y = \frac{180^\circ - x}{2}$.
- 3
Аналогично, в треугольнике $ACD$ при условии $AC = AD$, углы при основании равны: $\angle ACD = \angle ADC = \frac{180^\circ - x}{2}$, поскольку $x + 2\cdot \frac{180^\circ - x}{2} = 180^\circ$.
- 4
Угол $BDC$ образован лучами $DB$ и $DC$. Заметим, что луч $AD$ лежит между ними, поэтому $\angle BDC = \angle ADB + \angle ADC$. Подставляем найденные величины: $$\angle BDC = \frac{180^\circ - x}{2} + \frac{180^\circ - x}{2} = 180^\circ - x$$. По условию задачи $\angle BDC = 160^\circ$, откуда $180^\circ - x = 160^\circ$, то есть $x = 20^\circ$.
- 5
Наконец, подставляя $x = 20^\circ$ в выражение $\angle BAC = 2x$, получаем $\angle BAC = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$.
Ответ: $$40^\circ$$