Mekhmatik
5

Задание 5 — №441375

Выбор оптимального варианта

ПутешествияФИПИ: 7.7 Решение практических задач по геометрии

Условие

На ри­сун­ке изоб­ра­жен план сель­ской мест­но­сти.

Таня на лет­них ка­ни­ку­лах при­ез­жа­ет в гости к де­душ­ке в де­рев­ню Ан­то­нов­ку (на плане обо­зна­че­на циф­рой 1). В конце ка­ни­кул де­душ­ка на ма­ши­не со­би­ра­ет­ся от­вез­ти Таню на ав­то­бус­ную стан­цию, ко­то­рая на­хо­дит­ся в де­рев­не Бог­да­но­во, Из Ан­то­нов­ки в Бог­да­но­во можно про­ехать по про­се­лоч­ной до­ро­ге вдоль реки. Есть дру­гой путь  — по шоссе до де­рев­ни Ва­ню­ти­но, где нужно по­вер­нуть под пря­мым углом на­ле­во на дру­гое шоссе, ве­ду­щее в Бог­да­но­во. Тре­тий марш­рут про­хо­дит по про­се­лоч­ной до­ро­ге мимо пруда до де­рев­ни Го­рю­но­во, где можно свер­нуть на шоссе до Бог­да­но­во. Чет­вер­тый марш­рут про­ле­га­ет по шоссе до де­рев­ни До­ло­ми­но, от До­ло­ми­но до Го­рю­но­во по про­се­лоч­ной до­ро­ге мимо ко­нюш­ни и от Го­рю­но­во до Бог­да­но­во по шоссе. Еще один марш­рут про­хо­дит по шоссе до де­рев­ни Егор­ки, по про­се­лоч­ной до­ро­ге мимо ко­нюш­ни от Егор­ки до Жи­ли­но и по шоссе от Жи­ли­но до Бог­да­но­во.

Шоссе и про­се­лоч­ные до­ро­ги об­ра­зу­ют пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки.

По шоссе Таня с де­душ­кой едут со ско­ро­стью 50 км/ч, а по про­се­лоч­ным до­ро­гам  — со ско­ро­стью 30 км/ч. Рас­сто­я­ние от Ан­то­нов­ки до До­ло­ми­но равно 12 км, от До­ло­ми­но до Егор­ки  — 4 км, от Егор­ки до Ва­ню­ти­но  — 12 км, от Го­рю­но­во до Ва­ню­ти­но  — 15 км, от Ва­ню­ти­но до Жи­ли­но  — 9 км, а от Жи­ли­но до Бог­да­но­во 12 км.

На про­се­лоч­ных до­ро­гах ма­ши­на де­душ­ки рас­хо­ду­ет 8,2 литра бен­зи­на на 100 км. Из­вест­но, что на путь из Ан­то­нов­ки до Бог­да­но­во через Ва­ню­ти­но и путь на­пря­мик ей не­об­хо­дим один и тот же объем бен­зи­на. Сколь­ко лит­ров бен­зи­на на 100 км ма­ши­на де­душ­ки рас­хо­ду­ет на шоссе?

На рисунке изображен план сельской местности.Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновку (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово, Из Антоновки в Богданово можно проехать по проселочной дороге вдоль реки. Есть другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по проселочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданово. Четвертый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломино до Горюново по проселочной дороге мимо конюшни и от Горюново до Богданово по шоссе. Еще один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорки, по проселочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино до Богданово.Шоссе и проселочные дороги образуют прямоугольные треугольники.По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по проселочным дорогам — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км, от Доломино до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютино — 12 км, от Горюново до Ванютино — 15 км, от Ванютино до Жилино — 9 км, а от Жилино до Богданово 12 км. На проселочных дорогах машина дедушки расходует 8,2 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь из Антоновки до Богданово через Ванютино и путь напрямик ей необходим один и тот же объем бензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на шоссе?

Решение

  1. 1
    Найдем расстояние между Антоновкой и Богданово по прямой. Это расстояние равно длине гипотенузы прямоугольного треугольника, вершины которого обозначены цифрами 1, 4 и 7. Сначала найдем расстояние между точками 1 и 4: $12 \text{ км} + 12 \text{ км} - 4 \text{ км} = 20 \text{ км}$. Затем найдем расстояние между точками 4 и 7: $9 \text{ км} + 12 \text{ км} = 21 \text{ км}$. Таким образом, расстояние между Антоновкой и Богданово равно $20 \text{ км}$ и $21 \text{ км}$.
  2. 2
    Теперь применим теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы: $$c = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29 \text{ км}.$$ Таким образом, расстояние между Антоновкой и Богданово составляет $29 \text{ км}$.
  3. 3
    Теперь рассчитаем расход бензина на этом пути. По проселочным дорогам машина расходует $8,2$ литра на $100$ км, следовательно, на $29$ км она израсходует: $$\frac{29 \cdot 8,2}{100} = 2,378 \text{ литра}.$$ Это количество бензина будет равно расходу на путь через Ванютино.
  4. 4
    Теперь найдем протяженность пути через Ванютино: $20 \text{ км} + 21 \text{ км} = 41 \text{ км}$. Расход бензина на этом пути составит: $$\frac{2,378}{41} \cdot 100 = 5,8 \text{ литра на 100 км}.$$

Ответ: 5,8