Задание 24 — №439915
Геометрические задачи на доказательство
Условие
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Решение
- 1
В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ является серединой стороны $AB$, откуда следует, что $AE = EB$, а по свойству параллелограмма, $AD = BC$.
- 2
Рассмотрим треугольники $BEC$ и $AED$. Выпишем их соответствующие стороны: $$EB = AE, \quad EC = ED, \quad BC = AD.$$ По признаку равенства треугольников по трём сторонам (SSS), так как $EB = AE$, $EC = ED$ и $BC = AD$, имеем: $$\triangle BEC \cong \triangle AED.$$
- 3
Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны. В частности, $$\angle CBE = \angle DAE.$$ Обозначим этот угол через $\theta$, то есть $\angle CBE = \angle DAE = \theta$.
- 4
Углы $\angle CBE$ и $\angle DAE$ в параллелограмме являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$: $$\theta + \theta = 180^\circ.$$
- 5
Решая уравнение $2\theta = 180^\circ$, делим обе части на $2$ и получаем $\theta = 90^\circ$. Таким образом, один из углов параллелограмма равен $90^\circ$, а значит, параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником.
Ответ: Такой параллелограмм — прямоугольник.