Задание 20 — №353393

Запишем систему уравнений: $ (x+y)^2=2y $ и $ (x+y)^2=2x $.

Вычтем второе уравнение из первого: $ (x+y)^2-(x+y)^2=2y-2x $. Получаем $ 0=2y-2x $, то есть $ 2y-2x=0 $. Делим обе части на $2$ и получаем $y=x$.

Подставляем найденное соотношение $y=x$ в первое уравнение: $ (x+x)^2=2x $. Поскольку $x+x=2x$, у нас получается $ (2x)^2=2x $.

Вычисляем квадрат: $ (2x)^2=4x^2 $. Таким образом, уравнение принимает вид $4x^2=2x$. Переносим всё в левую часть: $4x^2-2x=0$.

Вынесем общий множитель: $2x(2x-1)=0$. Применяем нулевое произведение: если $2x=0$, то $x=0$, а если $2x-1=0$, то $x=\frac{1}{2}$.

Так как $y=x$, получаем, что при $x=0$ будет $y=0$, а при $x=\frac{1}{2}$ будет $y=\frac{1}{2}$. Поэтому решения системы: $(0;0)$ и $(0,5;0,5)$.