Задание 21 — №311653

1. Пусть $x$ кг — масса $60\%$ раствора, а $y$ кг — масса $30\%$ раствора.

2. При смешивании растворов с добавлением $5$ кг чистой воды общая масса смеси равна $x+y+5$, а масса кислоты составляет $0.6x+0.3y$. Поскольку концентрация кислоты в смеси $20\%$, по правилу расчёта концентрации запишем уравнение: $0.6x+0.3y=0.2(x+y+5)$.

3. Раскрывая скобки, получаем: $0.6x+0.3y=0.2x+0.2y+1$. Вычитая $0.2x+0.2y$ из обеих частей, получаем уравнение: $0.4x+0.1y=1$. Умножив на $10$, получим: $4x+y=10$.

4. Если вместо воды добавить $5$ кг $90\%$ раствора, добавляется кислота в количестве $0.9\cdot5=4.5$ кг, и масса кислоты станет равной $0.6x+0.3y+4.5$. При этом общая масса смеси всё равно равна $x+y+5$, а раствор имеет концентрацию $70\%$. Тогда запишем второе уравнение: $0.6x+0.3y+4.5=0.7(x+y+5)$.

5. Раскрываем скобки во втором уравнении: $0.7(x+y+5)=0.7x+0.7y+3.5$. Получаем: $0.6x+0.3y+4.5=0.7x+0.7y+3.5$. Переносим все слагаемые в левую часть: $0.6x-0.7x+0.3y-0.7y+4.5-3.5=0$, то есть $-0.1x-0.4y+1=0$. Умножив на $-1$, получаем: $0.1x+0.4y=1$, а затем, умножив на $10$, получаем: $x+4y=10$.

6. Решим полученную систему уравнений:
$\begin{cases} 4x+y=10\\ x+4y=10 \end{cases}$.
Выразим из первого уравнения $y=10-4x$ и подставим во второе: $x+4(10-4x)=10$, то есть $x+40-16x=10$. Отсюда $-15x=-30$, откуда $x=2$. Подставляя $x=2$ в $y=10-4x$, получаем $y=2$. Поскольку нас спрашивают массу $60\%$ раствора, ответ: $2$ кг.