Задание 25 — №457286

Построим перпендикуляры из точки $K$ на стороны $AB$, $AD$ и $BC$, обозначив точки пересечения как $L$, $H$ и $M$ соответственно. В результате получим расстояния $KL$, $KH$ и $KM$ от точки $K$ до сторон $AB$, $AD$ и $BC.

Так как $K$ лежит на биссектрисе угла $A$, по свойству биссектрисы (треугольники $LAK$ и $KAH$ равны по двум углам и стороне) получаем, что $KL = KH$. Аналогично, так как $K$ лежит на биссектрисе угла $B$, равны треугольники $BLK$ и $BMK$, откуда $KL = KM$. По условию $KL = 6$, поэтому $KH = 6$ и $KM = 6$.

Расстояние между сторонами $AD$ и $BC$ (высота параллелограмма) равно сумме расстояний от точки $K$ до этих сторон, то есть $MH = KH + KM = 6 + 6 = 12$.

Используем формулу площади параллелограмма $$S_{ABCD} = BC \cdot h$$, где $h$ --- высота. Подставляем $BC = 6$ и $h = MH = 12$: $$S_{ABCD} = 6 \cdot 12 = 72$$. Таким образом, площадь параллелограмма равна $72$.