Задание 14 — №412224
Задачи на прогрессии
Условие
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 360 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счету отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см?
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 360 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счету отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см?
Решение
- 1
Изменение высоты отскока мячика представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = 360$ см и знаменателем $q = \frac{1}{3}$. Формула $n$-ого члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим значения:
$$b_n = 360 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$$
- 2
Нам нужно найти $n$, при котором высота $b_n$ станет меньше 15 см. Составим неравенство:
$$360 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < 15$$
- 3
Разделим обе стороны неравенства на 360:
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{15}{360}$$
Упростим правую часть: $\frac{15}{360} = \frac{1}{24}$, тогда получаем:
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{1}{24}$$
- 4
Теперь найдем минимальное целое значение $n$, которое удовлетворяет этому неравенству. Для этого можно выразить $n$:
$$n - 1 > \log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{24}}$$
Решая это неравенство, получаем $n > 4$. Следовательно, минимальное целое значение $n = 4$.
Ответ: 4