Задание 14 — №412206
Задачи на прогрессии
Условие
На клетчатой бумаге с размером клетки 
нарисована «змейка», представляющая собой ломаную, состоящую из четного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображен случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисована «змейка», представляющая собой ломаную, состоящую из четного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображен случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.
Решение
- 1
Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет сумму членов арифметической прогрессии, где первый член $a_1 = 10$, последний член $a_n = 1$ и разность $d = -1$. Члены прогрессии: $10, 10, 9, 9, 8, 8, \ldots, 2, 2, 1, 1$.
- 2
Найдем количество членов прогрессии. Последний член равен $1$, а первый $10$. Число членов $n$ можно найти по формуле: $n = \frac{a_1 - a_n}{d} + 1 = \frac{10 - 1}{-1} + 1 = 10$.
- 3
Теперь найдем сумму арифметической прогрессии по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставим значения: $S_n = \frac{10 + 1}{2} \cdot 10 = \frac{11}{2} \cdot 10 = 55$.
- 4
Каждый член прогрессии учтен дважды, поэтому длина змейки $S = 2S_n = 2 \cdot 55 = 110$.
- 5
Теперь найдем длину змейки, где последнее звено равно $120$. В этом случае первый член $a_1 = 120$, последний $a_n = 1$, и количество членов $n = \frac{120 - 1}{-1} + 1 = 120$.
- 6
Сумма арифметической прогрессии будет равна: $S_n = \frac{120 + 1}{2} \cdot 120 = \frac{121}{2} \cdot 120 = 7260$.
- 7
Учитывая, что каждый член прогрессии учтен дважды, длина змейки $S = 2S_n = 2 \cdot 7260 = 14520$.
Ответ: 14520