Задание 23 — №324916
Геометрические задачи на вычисление
Условие
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 16, а сторона BC в 1,6 раза меньше стороны AB.
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 16, а сторона BC в 1,6 раза меньше стороны AB.
Решение
- 1
Из свойства вписанного четырёхугольника (по теореме о вписанных углах, сумма противоположных углов равна $180^\circ$) получаем, что в четырехугольнике $KPCB$ выполняется: $\angle KBC + \angle KPC = 180^\circ$.
- 2
Углы $\angle APK$ и $\angle KPC$ являются смежными (так как они образуют развернутый угол), отсюда: $\angle APK + \angle KPC = 180^\circ$.
- 3
Сравнивая два равенства: $\angle KBC + \angle KPC = 180^\circ$ и $\angle APK + \angle KPC = 180^\circ$, делаем вывод, что $\angle KBC = \angle APK$.
- 4
Угол $A$ общий для треугольников $ABC$ и $AKP$, а также, благодаря равенству $\angle APK = \angle KBC$, по признаку подобия треугольников (\textbf{AA}) получаем: $$\frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB}.$$
- 5
Подставляем данные: $AP = 16$ и $AB = 1.6\cdot BC$. Тогда равенство принимает вид: $$\frac{KP}{BC} = \frac{16}{1.6\cdot BC},$$ откуда следует, что $KP=\frac{16}{1.6}=10$.
Ответ: 10