Задание 23 — №324896

Пусть $O$ --- центр окружности, расположенной на стороне $AC$ треугольника $ABC$. Из условия окружность проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$.

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, получаем, что $OB \perp AB$. Следовательно, треугольник $OBA$ является прямоугольным с прямым углом в точке $B$.

Из условия диаметр окружности равен $7.5$, находим радиус: $$ OB = \frac{7.5}{2} = 3.75. $$

Применяем теорему Пифагора (в прямоугольном треугольнике $OBA$ выполняется равенство $OA^2 = AB^2+OB^2$): подставляем $AB=2$ и $OB=3.75$, получаем: $$ OA = \sqrt{2^2+(3.75)^2} = \sqrt{4+14.0625} = \sqrt{18.0625}. $$ Приведём вычисление к дробям: $2^2=4=\frac{64}{16}$ и $$(3.75)^2=\left(\frac{15}{4}\right)^2=\frac{225}{16}$$, тогда $$ OA = \sqrt{\frac{64}{16}+\frac{225}{16}} = \sqrt{\frac{289}{16}} = \frac{17}{4} = 4.25. $$

Так как точка $C$ лежит на окружности, то $OC$ равен радиусу, то есть $3.75$. Тогда сторона $AC$ равна сумме отрезков $OA$ и $OC$: $$ AC = OA+OC = 4.25+3.75 = 8. $$