Задание 24 — №315124

Шаг 1. Рассмотрим правильный восьмиугольник, у которого все стороны равны, а каждый внутренний угол равен $\frac{180^\circ(8-2)}{8}=135^\circ$. Отметим на каждой стороне точку, являющуюся её серединой, и обозначим их как $A_1$, $B_1$, $\ldots$, $H_1$ (например, $A_1$ – середина стороны $AB$).

Шаг 2. Выделим два соседних маленьких треугольника: $H_1AA_1$ и $A_1BB_1$. В треугольнике $H_1AA_1$ отрезок $H_1A$ равен отрезку $A_1B$ (из симметрии правильного восьмиугольника), а отрезок $AA_1$ равен отрезку $BB_1$ – поскольку это половины равных сторон. При этом угол при вершине $A$ равен $135^\circ$, как и угол при вершине $B$ в треугольнике $A_1BB_1$.

Шаг 3. Применяя признак равенства треугольников по двум сторонам и углу (SAS), где $H_1A=A_1B$, $AA_1=BB_1$ и $\angle A=\angle B=135^\circ$, заключаем, что треугольники $H_1AA_1$ и $A_1BB_1$ равны.

Шаг 4. Аналогичным образом равны между собой все маленькие треугольники, образованные вершиной исходного восьмиугольника и серединными точками соседних сторон. Из равенства этих треугольников следует, что отрезки, соединяющие последовательные точки, равны: $$A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1E_1=E_1F_1=F_1G_1=G_1H_1=H_1A_1$$.

Шаг 5.

Рассмотрим угол нового восьмиугольника, например, угол $AA_1B$, образованный двумя равнобедренными треугольниками. В каждом из них углы при основании равны $\frac{180^\circ-135^\circ}{2}=22.5^\circ$.

Поэтому угол у вершины $A_1$ равен $180^\circ-22.5^\circ-22.5^\circ=135^\circ$, что совпадает с углом исходного восьмиугольника.

Следовательно, все углы многоугольника, образованного точками $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$, $F_1$, $G_1$, $H_1$, равны $135^\circ$, и данный восьмиугольник является правильным.