Задание 24 — №181

Шаг 1: Вычисляем внутренний угол правильного восьмиугольника. Используем формулу $\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ$, где $n=8$. Подставляем: $$\frac{8-2}{8}\cdot 180^\circ=\frac{6}{8}\cdot 180^\circ=135^\circ$$.

Шаг 2: При соединении вершин через одну правильный восьмиугольник разбивается на четыре равных равнобедренных треугольника, у которых вершина равна $135^\circ$. По свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны $$\frac{180^\circ-135^\circ}{2}=\frac{45^\circ}{2}=22,5^\circ$$.

Шаг 3: Так как все вершины восьмиугольника лежат на описанной окружности, между выбранными вершинами дуга равна $2\cdot45^\circ=90^\circ$. По теореме об угле, вписанном в полукружие (угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$), каждый угол полученного четырёхугольника равен $90^\circ$.

Шаг 4: Поскольку четыре равных равнобедренных треугольника имеют равные стороны, то и все стороны четырёхугольника равны. С четырьмя прямыми углами по определению этот четырёхугольник является квадратом.