Задание 24 — №315039

Шаг 1. Обозначим вершины правильного шестиугольника как A, B, C, D, E, F, расположенные в порядке обхода. Пусть M, N, O, P, Q и R – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF и FA соответственно.

Шаг 2. Запишем координаты (или векторное представление) точек M, N, O, P, Q, R через соответствующие вершины: $M = \frac{A+B}{2}$, $N = \frac{B+C}{2}$, $O = \frac{C+D}{2}$ и т.д.

Шаг 3. Найдём, например, вектор $\overrightarrow{MN}$:
$$\overrightarrow{MN} = N - M = \frac{B+C}{2} - \frac{A+B}{2} = \frac{C-A}{2}$$.
Аналогичным образом для следующих сторон получаем:
$\overrightarrow{NO} = \frac{D-B}{2}$, $\overrightarrow{OP} = \frac{E-C}{2}$ и так далее.

Шаг 4. Так как исходный шестиугольник правильный, его вершины равномерно расположены на окружности, а все углы между векторами $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \ldots$ равны $60^\circ$.

Заметим, что векторы $C-A, D-B, E-C, \ldots$ соединяют вершины, через одну, и в правильном шестиугольнике все такие отрезки равны по длине.

Следовательно, все векторы $\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{NO}, \ldots$ имеют одинаковую длину, так как они равны соответствующим разностям, делённым на 2.

Шаг 5. Рассмотрим углы между соседними сторонами нового шестиугольника. Переход от вектора $\overrightarrow{MN} = \frac{C-A}{2}$ к $\overrightarrow{NO} = \frac{D-B}{2}$ совпадает с поворотом, соответствующим повороту между (соседними по порядку) разностями вершин исходного шестиугольника, что обеспечивает равенство углов между сторонами нового шестиугольника.

Таким образом, все его стороны равны, и все внутренние углы равны (каждый равен $120^\circ$), что соответствует определению правильного шестиугольника.