Задание 24 — №315120

Шаг 1. Вычисляем каждый внутренний угол правильного восьмиугольника по формуле: $$\angle = \frac{180^\circ\cdot(n-2)}{n}$$. Подставляем $n=8$: $$\angle = \frac{180^\circ\cdot(8-2)}{8} = \frac{180^\circ\cdot6}{8} = 135^\circ.$$ Таким образом, каждый внутренний угол равен $135^\circ$.

Шаг 2. Рассмотрим четыре равнобедренных треугольника $HAB$, $BCD$, $DFE$ и $FGH$, образованные сторонами восьмиугольника. Так как все стороны правильного восьмиугольника равны, то выполняются равенства: $HA=AB$, $BC=CD$, $DE=EF$, $FG=GH$. Углы при вершинах $A$, $C$, $E$ и $G$ равны $135^\circ$.

Шаг 3. По свойству равнобедренных треугольников с равными боковыми сторонами и углом между ними треугольники $HAB$, $BCD$, $DFE$ и $FGH$ равны. Из равенства этих треугольников следует, что их основания равны, то есть: $HB=BD=DF=FH$.

Шаг 4. Так как стороны $HB$, $BD$, $DF$ и $FH$ равны, то четырёхугольник $FHBD$ является ромбом.

Шаг 5. В каждом из равнобедренных треугольников вершина равна $135^\circ$, а углы при основании находятся по формуле: $$\text{Угол при основании} = \frac{180^\circ-135^\circ}{2} = \frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ.$$ Поэтому углы при основании равны $22.5^\circ$.

Шаг 6. Рассмотрим угол в точке $H$ внутри ромба $FHBD$. Он образуется за счет угла правильного восьмиугольника $135^\circ$ за вычетом двух оснований треугольников, смежных с этой стороной: $$\angle FHB=135^\circ-22.5^\circ-22.5^\circ=90^\circ.$$ Так как в ромбе один из углов равен $90^\circ$, то по свойству ромба с прямым углом он является квадратом.