Задание 21 — №311616

Шаг 1: Обозначим, что ученик делает за час $x$ деталей, тогда мастер делает за час $(x+4)$ деталей, так как по условию ученик делает на $4$ детали меньше.

Шаг 2: Запишем время, затраченное на изготовление деталей. Ученик изготавливает $231$ деталь за $\frac{231}{x}$ часов, а мастер изготавливает $462$ детали за $\frac{462}{x+4}$ часов.

Шаг 3: По условию ученик тратит на $11$ часов больше, чем мастер, то есть: $\frac{231}{x} - \frac{462}{x+4} = 11$. Разделим обе части уравнения на $11$ (так как $\frac{231}{11}=21$ и $\frac{462}{11}=42$) и получим: $\frac{21}{x} - \frac{42}{x+4} = 1$. Для удобства домножим обе части на $x(x+4)$, получим: $21(x+4) - 42x = x(x+4)$.

Шаг 4: Решим полученное уравнение. Раскроем скобки: $21x + 84 - 42x = x^2+4x$, откуда получаем: $84 - 21x = x^2+4x$. Переносим все слагаемые в одну часть: $x^2 + 25x - 84 = 0$. Применим формулу для решения квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, где $a=1$, $b=25$, $c=-84$. Подставляем: $$x = \frac{-25 \pm \sqrt{25^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84)}}{2} = \frac{-25 \pm \sqrt{625+336}}{2} = \frac{-25 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{-25 \pm 31}{2}$$. Поскольку $x>0$, выбираем: $x = \frac{6}{2} = 3$.