Задание 21 — №311580

Обозначим, что первый оператор набирает текст за $x$ часов, а второй за $y$ часов. Тогда за 1 час они выполняют работу $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$ соответственно, а их совокупная скорость равна $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$. Так как вместе они набирают текст за $8$ часов, получаем уравнение: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}$.

Если первый оператор работает $3$ часов, он выполнит $\frac{3}{x}$ работы, а если второй работает $12$ часов, он выполнит $\frac{12}{y}$ работы. По условию, суммарно они выполняют $75\%$, то есть $\frac{3}{4}$ всей работы: $\frac{3}{x}+\frac{12}{y}=\frac{3}{4}$.

Разделим второе уравнение на $3$ для упрощения: $\frac{3}{x}+\frac{12}{y}=\frac{3}{4}$, делим каждое слагаемое на $3$ и получаем: $\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=\frac{1}{4}$.

Вычтем первое уравнение $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}$ из полученного уравнения $\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=\frac{1}{4}$:
$$\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}$$,
что даёт $\frac{3}{y}=\frac{1}{8}$.
Отсюда находим $y=24$.

Подставляем найденное значение $y=24$ в первое уравнение:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{24}=\frac{1}{8}$.
Выразим $$\frac{1}{x}=\frac{1}{8}-\frac{1}{24}=\frac{3-1}{24}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}$$,
откуда находим $x=12$.