Задание 16 — №169888
Окружность, круг и их элементы
Условие
Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна $6 \pi$, а угол сектора равен $120^{\circ}$. В ответе укажите площадь, деленную на $\pi$.
Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна 6 π, а угол сектора равен 120^(°). В ответе укажите площадь, деленную на π.
Решение
- 1
Найдём радиус сектора из формулы длины дуги $L = \frac{\pi r \alpha}{180}$, где $L = 6\pi$ и $\alpha = 120^{\circ}$. Подставим значения:
$$6\pi = \frac{\pi r \cdot 120}{180}$$
- 2
Упростим уравнение и найдём $r$:
$$6\pi = \frac{\pi r \cdot 120}{180} \Rightarrow 6 = \frac{r \cdot 120}{180} \Rightarrow r = \frac{6 \cdot 180}{120} = 9$$
- 3
Теперь найдём площадь сектора по формуле $S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360}$. Подставим $r = 9$ и $\alpha = 120^{\circ}$:
$$S = \frac{\pi \cdot 9^2 \cdot 120}{360} = \frac{\pi \cdot 81 \cdot 120}{360}$$
- 4
Упростим площадь сектора:
$$S = \frac{\pi \cdot 9720}{360} = 27\pi$$
Ответ: 27