Задание 22 — №340933

Шаг 1. Записываем исходную функцию: $y=3-\frac{x+5}{x^2+5x}$. Заметим, что можно вынести общий множитель из знаменателя: $x^2+5x=x\cdot(x+5)$, при этом должны выполняться условия: $x\neq0$ и $x\neq-5$.

Шаг 2. Сокращаем общий множитель $(x+5)$ в дроби: $$\frac{x+5}{x\cdot(x+5)}=\frac{1}{x},$$ при условии, что $x\neq-5$. Получаем упрощённое выражение: $y=3-\frac{1}{x}$.

Шаг 3. Построение графика: график функции $y=3-\frac{1}{x}$ получаем из графика функции $y=\frac{1}{x}$. Для этого отражаем график $y=\frac{1}{x}$ относительно оси $Ox$, получая функцию $y=-\frac{1}{x}$, а затем сдвигаем вниз вверх на вектор $(0,3)$, то есть прибавляем $3$ к значению $y$.

Шаг 4. Находим точки пересечения графика с прямой $y=m$. Приравниваем: $$3-\frac{1}{x}=m.$$ Переносим дробь: $$-\frac{1}{x}=m-3,$$ а затем, умножая на $-1$, получаем: $$\frac{1}{x}=3-m.$$

Шаг 5. Выражаем $x$ через $m$: из уравнения $$\frac{1}{x}=3-m$$ получаем $$x=\frac{1}{3-m},$$ при условии, что $m\neq3$ (иначе возникает деление на ноль).

Шаг 6. Определяем значения $m$, при которых найденное решение не принадлежит области определения функции.

Если $x=\frac{1}{3-m}$ равно запрещённому значению $-5$, то приравниваем: $$\frac{1}{3-m}=-5.$$ Умножая обе части на $(3-m)$, получаем: $$1=-5(3-m).$$ Решим это уравнение: $$3-m=-\frac{1}{5},$$ откуда $$m=3+\frac{1}{5}=\frac{16}{5}.$$ Кроме того, при $m=3$ уравнение не имеет решения, так как деление на ноль невозможно.